Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，橢圓上一點，軸上存在一點滿足，.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓相切于第一象限上的點，且分別與軸、軸交于兩點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）根據向量的坐標運算可先求出的坐標為，再由向量垂直求出，即可寫出方程（2）設直線的方程為，聯立橢圓方程，根據相切可知，求得，根據兩點間距離公式得，準化為關于的式子，利用均值不等式求最值.

（1）設橢圓的焦距為，

則點的坐標為，點的坐標為，

設點的坐標為，

，，

∵，則，

∴，則點的坐標為，

∵直線與直線垂直，且點，

所以，，

∵，∴，得，所以，

因此，橢圓的方程為.

（2）設直線的方程為，

聯立，得，

即，

，

即，

即,，

，

，

當且僅當，即時“=”成立，

∴的最小值為3.