Question

已知函數f（x）=x³-3ax，
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）當a=1時，求證：直線4x+y+m=0不可能是函數f（x）圖象的切線．

Answer 1

（1）∵f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
當a≤0時，f′（x）=3x²-3a≥0對x∈R恒成立，
∴f（x）的遞增區間為（-∞，+∞）．
當a＞0時，由f′（x）＞0，得x＜-

a

或x＞

a

，
由f′（x）＜0，得-

a

＜x＜

a

．
此時，f（x）的遞增區間是（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）；
遞減區間是（-

a

，

a

）．
（2）證明：∵a=1，∴f′（x）=3x²-3．
直線4x+y+m=0的斜率為-4，假設f′（x）=-4，即3x²+1=0．
此方程無實根，∴直線4x+y+m=0不可能是函數f（x）圖象的切線．