Question

求所有的素數(shù)對（p，q），使得．

Answer 1

見解析

若，不妨設(shè)，則，故．
由Fermat小定理，，得，即．易驗證素數(shù)對不合要求，，合乎要求．       
若為奇數(shù)且，不妨設(shè)，則，故．
當(dāng)時素數(shù)對合乎要求，當(dāng)時，由Fermat小定理有，故．由于為奇素數(shù)，而626的奇素因子只有313，所以．經(jīng)檢驗素數(shù)對合乎要求．
若都不等于2和5，則有，故
．                ①
由Fermat小定理，得        ，                ②
故由①，②得
．                 ③
設(shè)，，其中為正整數(shù)．
若，則由②，③易知
，
這與矛盾！所以．       
同理有，矛盾！即此時不存在合乎要求的．
綜上所述，所有滿足題目要求的素數(shù)對為
，，，，，及．