Question

如圖，已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（I）若G為△ABC的重心，

A1M

=3

MG

，設

AB

=a，

AD

=b，

AA1

=c，用向量a、b、c表示向量

A1M

；
（II）若平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱長相等且AB⊥平面BCC₁B₁，E為CD中點，AC₁∩BD₁=O，求證；OE⊥平面ABC₁D₁．

Answer 1

分析：（I）利用向量加法的三角形法則及重心的性質，將

AG

用基底表示，再在三角形A₁AG中，將

A1M

用基底表示；
（II）連接C₁E，AE，由已知證明△C₁EA為等腰三角形，從而OE⊥AC₁，同理可證明OE⊥BD₁，最后由線面垂直的判定定理證明結論

解答：解：（I）依題意，

A1M

=

3

4

A1G

=

3

4

(

A1A

+

AG

)
∵G為△ABC的重心，
∴

AG

=

2

3

×

1

2

(

AB

+

AC

)=

1

3

(

AB

+

AC

)
又∵

AC

=

AB

+

AD

∴

A1M

=

3

4

[

A1A

+

1

3

(

AB

+

AB

+

AD

)]
=

3

4

A1A

+

1

2

AB

+

1

4

AD

=

1

2

a

+

1

4

b

-

3

4

c

（II）證明：連接C₁E，AE，
∵平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱長相等且AB⊥平面BCC₁B₁
∴C₁E=AE，
∴△C₁EA為等腰三角形
∵O為AC₁的中點，
∴OE⊥AC₁
同理可證 OE⊥BD₁
∵AC₁∩BD₁=O，
∴OE⊥平面ABC₁D₁．

點評：本題考查了空間向量的基本定理及其應用，向量加法的三角形法則，重心的性質及線面垂直的判定定理