Question

在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60°

(1)求四棱錐P－ABCD的體積；

(2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值

Answer 1

答案：
解析：

(1)在四棱錐P－ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得 　　∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°－－－－－－－2分 　　在Rt△AOB中BO＝ABsin30°＝1，由PO⊥BO， 　　于是，PO＝BOtg60°＝，而底面菱形的面積為2－－－－－4分 　　∴四棱錐P－ABCD的體積V＝×2×＝2－－－－6分 　　(2)解法一：以O為坐標原點，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系在Rt△AOB中OA＝，于是，點A、B、D、P的坐標分別是A(0，－，0)，B(1，0，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，)E是PB的中點，－－－－－－－8分 　　則E(，0，)－－－－－－－9分 　　于是＝(，0，)， 　　＝(0，，)－－－－－－－11分 　　設的夾角為θ， 　　有cosθ＝，－－－－－－－13分 　　∴異面直線DE與PA所成角的余弦值為；－－－－－－－14分