Question

已知橢圓的方程為，點分別為其左、右頂點，點分別為其左、右焦點，以點為圓心，為半徑作圓；以點為圓心，為半徑作圓；若直線被圓和圓截得的弦長之比為；

（1）求橢圓的離心率；

（2）己知，問是否存在點，使得過點有無數條直線被圓和圓截得的弦長之比為；若存在，請求出所有的點坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由，得直線的傾斜角為，

則點到直線的距離，

故直線被圓截得的弦長為，

直線被圓截得的弦長為，                  （3分）

據題意有：，即，                       （5分）

化簡得：，

解得：或，又橢圓的離心率；

故橢圓的離心率為．（7分）

（2）假設存在，設點坐標為，過點的直線為；

當直線的斜率不存在時，直線不能被兩圓同時所截；

故可設直線的方程為，

則點到直線的距離，

由（1）有，得=，

故直線被圓截得的弦長為，                         （9分）

則點到直線的距離，

，故直線被圓截得的弦長為，                （11分）

據題意有：，即有，整理得，

即，兩邊平方整理成關于的一元二次方程得

，                  （13分）

關于的方程有無窮多解，

故有：，

故所求點坐標為（－1，0）或（－49，0）．                            （16分）

（注設過P點的直線為后求得P點坐標同樣得分）

【解析】略