Question

（2009•大連一模）已知函數f（x）=

1

2

x2-2x+2，g(x)=loga

1

x

(a＞0，且a≠1)，函數h（x）=f（x）-g（x）在定義域內是增函數，且h′（x）義域內存在零點（h′（x）為h（x）的導函數）．
（I）求a的值；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）是函數y=g（x）的圖象上兩點，g′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

(g′(x)為g(x)的導函數)，試比較x₁與x₀的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）寫出h（x），求導數h′（x），h（x）在區間（0，+∞）上是增函數，等價于h′（x）≥0在區間（0，+∞）上恒成立，即x2-2x+

1

lna

≥0在區間（0，+∞）上恒成立，由此得△≤0，由h′（x）存在正零點，得△≥0，從而△=0，由此可解a值；
（II）由g′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

得，x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

，作差：x₁-x₀=

x1lnx2-x1lnx1-x2+x1

lnx2-lnx1

，構造函數r（x）=xlnx₂-xlnx-x₂+x，利用導數可判斷r（x）的單調性，借助單調性即可判斷差的符號，從而得到結論；

解答：解：（I）因為h（x）=

1

2

x2-2x+log_ax+2（x＞0），
所以h′（x）=x-2+

1

xlna

=

1

x

(x2-2x+

1

lna

)，
因為h（x）在區間（0，+∞）上是增函數，
所以

1

x

(x2-2x+

1

lna

)≥0在區間（0，+∞）上恒成立，即x2-2x+

1

lna

≥0在區間（0，+∞）上恒成立，
所以△≤0，
又h′（x）存在正零點，故△≥0，
所以△=0，即4-

4

lna

=0，所以lna=1，
所以a=e．
（II）結論x₀＞x₁，理由如下：
由（I），g′（x₀）=-

1

x0lna

=-

1

x0

，
由g′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

得，x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

，
x₁-x₀=x₁-

x2-x1

lnx2-lnx1

=

x1lnx2-x1lnx1-x2+x1

lnx2-lnx1

，
∵x₁＜x₂，∴lnx₂-lnx₁＞0，
令r（x）=xlnx₂-xlnx-x₂+x，
r′（x）=lnx₂-lnx在（0，x₂]上，r′（x）＞0，
所以r（x）在（0，x₂]上為增函數，
當x₁＜x₂時，r（x₁）＜r（x₂）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0，
從而x₀＞x₁得到證明．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數單調的充要條件及恒成立問題的解決，解決（II）問的關鍵是根據題目特點靈活構造函數，對能力要求較高．