Question

6．已知函數f（x）=x²+2bx+5（b∈R）．
（1）若b=2，試解不等式f（x）＜10；
（2）若f（x）在區間[-4，-2]上的最小值為-11，試求b的值；
（3）若|f（x）-5|≤1在區間（0，1）上恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次不等式的解法解得即可．
（2）根據所給的二次函數的性質，寫出對于對稱軸所在的區間不同時，對應的函數的最小值，
（3）利用函數的單調性分別求出y=$\frac{1}{x}$-x 的最小值為0，y=-x-$\frac{1}{x}$ 的最大值為-2，由此求得b的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²+4x+5＜10，
即x²+4x-5＜0，
即（x+5）（x-1）＜0，
解得-5＜x＜1，
故不等式的解集為（-5，1），
（2）f（x）=x²+2bx+5=（x+b）²-b²+5，
其對稱軸為x=-b，
當-b＜-4即b＞4時，在區間[-4，-2]上單調遞增，故y_min=16-8x+5=-11，解得b=4，舍去；
當-4≤-b≤-2即2≤b≤4時，在對稱軸處取最小值，故y_min=-b²+5=-11，解得b=±4，只有b=4符合題意，
當-b＞-2即b＜2時，在區間[-4，-2]上單調遞減，故y_min=4-4b+5=-11，解得b=5，不符合題意，舍去；
綜上所述：b的值為4，
（3）|f（x）-5|≤1在區間（0，1）上恒成立，
∴|x²+bx|≤1在區間（0，1）上恒成立，
∴-1≤x²+2bx≤1，
∴-x-$\frac{1}{x}$≤2b≤-x+$\frac{1}{x}$
∵函數y=-x-$\frac{1}{x}$在（0，1）上為增函數，y＞-1-1=-2，
函數y=-x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上為減函數，y＜-1+1=0，
∴-2≤2b≤0，
解得-1≤b≤0，
故b的取值范圍為[-1.0]

點評 本題考查了二次函數的性質以及函數的最值和參數的取值范圍的問題，屬于中檔題．