Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：f′（x）是函數f（x）的導函數，f″（x）是f′（x）的導函數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經研究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且拐點就是對稱中心． 若f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，請你根據這一發現，求：
（1）函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

的對稱中心為

 

；
（2）f(

1

2014

)+f(

2

2014

)+…+f(

2013

2014

)=

 

．

Answer 1

分析：（1）利用三次函數對稱中心的意義，令f^″（x）=0，解得x，再計算f（x），即可得到對稱中心；
（2）由（2）和對稱直線的意義可知f(x0)+f(1-x0)=2f(

1

2

)=2，即可得出．

解答：解：（1）f′（x）=x²-x+3，f^″（x）=2x-1，令f^″（x）=0，解得x=

1

2

．
而f(

1

2

)=

1

3

×(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2+3×

1

2

-

5

12

=1，
∴函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

的對稱中心為（

1

2

，1）．
（2）由（2）可知f(x0)+f(1-x0)=2f(

1

2

)=2，
∴f(

1

2014

)+f(

2

2014

)+…+f(

2013

2014

)=2013．
故答案分別為：（

1

2

，1），2013．

點評：本題考查了三次函數對稱中心的意義、求法及其應用，屬于難題．