Question

已知向量滿足，且，令，
（1）求（用k表示）；
（2）當k＞0時，對任意的t∈[-1，1]恒成立，求實數x取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用條件把已知的等式兩邊平方展開整理易得函數f（k）的解析式．
（Ⅱ）由基本不等式求的函數f（k）的最小值等于，問題等價于 在[-1，1]上恒成立，故即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立，而g（t）在[-1，1]上為單調函數或常函數，所以，由此求得實數x的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題設得，對，
兩邊平方得． …（2分）
展開整理易得．…（4分）
（Ⅱ）∵，當且僅當k=1時取得等號．…（6分）
欲使對任意的t∈[-1，1]恒成立，等價于…（7分）
即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立．
而g（t）在[-1，1]上為單調函數或常函數，
所以，…（11分） 
解得，…（13分）
故實數x的取值范圍為． …（14分）
點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，以及函數的恒成立問題，求出函數f（k）的解析式，是解題的突破口，屬于中檔題．