Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A(1，0)、B(0，-2)，點C滿足=α+β，其中α、β∈R，且α-2β=1.

(1)求點C的軌跡方程；

(2)設點C的軌跡與雙曲線=1(a＞0,b＞0)交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實軸長的取值范圍.

Answer 1

解:(1)設C(x，y)，因為=α+β，則(x,y)=α(1,0)+β(0,-2),

即由α-2β=1，得x+y=1，即點C的軌跡方程為x+y=1.

(2)由得(b²-a²)x²+2a²x-a²-a²b²=0.

依題意知b²-a²≠0，設M(x₁,1-x₁)、N(x₂?,1-x₂),

則x₁+x₂=,x₁x₂=.

因為以MN為直徑的圓過原點，所以·=0,

即x₁x₂+(1-x₁)(1-x₂)=0，即2x₁x₂+1-(x₁+x₂)=0,

得1+=0，得b²=.

∵e≤，∴e²=≤3.

∴1+≤3.

又1-2a²≥0，∴1-2a²≥.

∴0＜a≤.從而0＜2a≤1.

∴雙曲線實軸長的取值范圍是(0，1］.