Question

現有一張長80厘米、寬60厘米的長方形ABCD鐵皮，準備用它做成一只無蓋長方體鐵皮盒，要求材料利用率為l00%，不考慮焊接處損失．
方案一：如圖（1），從右側兩個角上剪下兩個小正方形，焊接到左側中聞，沿虛線折起，求此時鐵皮盒的體積；
方案二：如圖（2），若從長方形ABCD的一個角上剪下一塊正方形鐵皮，作為鐵皮盒的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側面，求該鐵皮盒體積的最大值，并說明如何剪拼？．

Answer 1

分析：方案一：求出小正方形的邊長，利用體積公式可求體積；
方案二：設底面正方形的邊長為x（0＜x＜60），長方體的高為y，利用面積確定x，y之間的關系，進而可表示出體積，利用導數法，可求最值．

解答：方案一：設小正方形的邊長為x，由題意得4x=60，x=15，
所以鐵皮盒的體積為65×30×15=29250（cm³）． …（4分）
方案二：設底面正方形的邊長為x（0＜x＜60），長方體的高為y，
由題意得x²+4xy=4800，即y=

4800-x2

4x

，
所以鐵皮盒體積V(x)=x2y=x2

4800-x2

4x

=-

1

4

x3+1200x，…（10分）V/(x)=-

3

4

x2+1200，令V′（x）=0，解得x=40或x=-40（舍），
當x∈（0，40）時，V'（x）＞0；當x∈（40，60）時，V'（x）＜0，
所以函數V（x）在x=40時取得最大值32000cm³．將余下材料剪拼成四個長40cm，寬20cm的小長方形作為正方形鐵皮盒的側面即可．     …（15分）
答：方案一鐵皮盒的體積為29250cm³；方案二鐵皮盒體積的最大值為32000cm³，將余下材料剪拼成四個長40cm，寬20cm的小長方形作為正方形鐵皮盒的側面即可．（16分）

點評：本題考查函數模型的選擇與運用，考查幾何體的體積，考查導數知識的運用，屬于中檔題．