Question

已知函數f（x）=x³-3|x-a|+λ•sin（π•x），其中a，λ∈R；
（1）當a=0時，求f（1）的值并判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）當a=0時，若函數y=f（x）的圖象在x=1處的切線經過坐標原點，求λ的值；
（3）當λ=0時，求函數f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）把所給的a的值代入，要證函數的即偶性，驗證x取1和-1時的值，結果不相等，得到函數是一個非奇非偶函數．
（2）對函數求導，寫出函數在x=1處的切線方程為y+2=-λπ（x-1），因為過原點，把（0，0）代入求出λ的值．
（3）寫出函數的解析式，對于a的不同值，針對于函數求導，得到函數的單調性和最值，把最小值進行比較得到函數式的最小值．

解答：解：（1）a=0時f（x）=x³-3|x|+λ•sin（π•x）
f（-1）=-4，f（1）=-2，
所以f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），
所以f（x）時非奇非偶函數
（2）x＞0時，f（x）=x³-3x+λsin（πx），所以f'（x）=3x²-3+λπcos（πx）
所以在x=1處的切線方程為y+2=-λπ（x-1）
因為過原點，所以λ=

2

π

（3）當a≤0時，x∈[0，2]上f（x）=x³-3x+3a，f'（x）=3x²-3，
所以f（x）在[0，1]內單調遞減，[1，2]遞增，所以y_min=f（1）=3a-2
當a≥2時，x∈[0，2]上f（x）=x³+3x-3a，f'（x）=3x²+3＞0，
所以f（x）單調遞增，y_min=f（0）=-3a
當0＜a＜2時，f(x)=

x3+3x-3a(0≤x≤a) x3-3x+3a(a≤x≤2)

，
當0≤x≤a時，f'（x）=3x²+3＞0，所以f（x）單調遞增，y_min=f（0）=-3a
當a≤x≤2時，因f'（x）=3x²-3，所以f（x）在[0，1]上單調遞減，在[1，2]上遞增，所以若0＜a≤1，
則y_min=f（1）=3a-2，當1＜a＜2時y_min=f（a）=a³
而0＜a≤1時 3a-2-（-3a）=6a-2，
所以，x∈[0，2]時ymin=

f(0)=-3a 1 3 ＜a≤1 f(1)=3a-2，0＜a≤ 1 3

同樣1＜a＜2，因a³＞-3a，所以y_min=f（0）=-3a
綜上：a≤

1

3

時，y_min=f（1）=3a-2a＞

1

3

時，y_min=f（0）=-3a

點評：本題考查函數的性質和導函數的應用，本題解題的關鍵是針對于函數式中的參數進行討論，在不同的取值范圍中，需要求解函數的不同的結果．