Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,拋物線上的點(diǎn)M(3,m)到焦點(diǎn)的距離等于5,求拋物線的方程和m的值.

Answer 1

分析:解本題的基本思路有兩個(gè):其一設(shè)拋物線方程,利用點(diǎn)M在拋物線上和點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于5,列出關(guān)于m、p的方程組,解關(guān)于m、p的方程組;其二利用拋物線的定義,得點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為5,直接得p的關(guān)系式,求出p值.

解法一:設(shè)拋物線方程為y²=2px(p＞0),則焦點(diǎn)F(,0),由題設(shè)可得解之得或

故所求的拋物線方程為y²=8x,m的值為±2.

解法二:設(shè)拋物線方程為y²=2px(p＞0),焦點(diǎn)F(,0),準(zhǔn)線方程x=-,根據(jù)拋物線定義,點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于M到準(zhǔn)線的距離,則3+=5,∴p=4.

因此拋物線方程為y²=8x.

又點(diǎn)M(3,m)在拋物線上,于是m²=24.∴m=±26.

點(diǎn)評(píng):涉及拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離問題要注意利用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,可簡化計(jì)算.