Question

在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，向量

m

=(1，cosB)，

n

=(sinB，-

3

)，且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）求函數f（x）=sin（2x+B）的單調減區間；
（3）若△ABC面積為

3 3

2

，3ac=25-b²，求a，c的值．

Answer 1

分析：（1）由向量的垂直與數量積的關系結合B的范圍可得B值；
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+

π

3

），由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

解不等式可得單調區間；
（3）由余弦定理結合已知可得a+c=5，再由面積公式可得ac=6，聯立方程組可得．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0
∴

m

•

n

=sinB-

3

cosB=0，
∵△ABC為銳角三角形，∴cosB≠0
∴tanB=

3

，∴B=

π

3

．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+

π

3

），
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

可得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

故函數的單調遞減區間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z
（3）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，代入數據得b²=a²+c²-ac，
結合已知3ac=25-b²可得3ac=25-a²-c²+ac，解得a+c=5．
∵S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

ac×sin

π

3

=

3

4

ac=

3 3

2

，∴ac=6
聯立

a+c=5 ac=6

，解得

a=2 c=3

，或

a=3 c=2

．

點評：本題考查向量的數量積以及三角函數的單調性和正余弦定理的應用，屬中檔題．