Question

已知函數y=kx與y=x²+2（x≥0）的圖象相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l₁，l₂分別是y=x²+2（x≥0）的圖象在A，B兩點的切線，M，N分別是l₁，l₂與x軸的交點．
（I）求k的取值范圍；
（II）設t為點M的橫坐標，當x₁＜x₂時，寫出t以x₁為自變量的函數式，并求其定義域和值域；
（III）試比較|OM|與|ON|的大小，并說明理由（O是坐標原點）．

Answer 1

解：（I）由方程消y得x²-kx+2=0．①
依題意，該方程有兩個正實根，
故解得k＞2．
（II）由f′（x）=2x，求得切線l₁的方程為y=2x₁（x-x₁）+y₁，
由y₁=x₁²+2，并令y=0，得t=，x₁，x₂是方程①的兩實根，
且x₁＜x₂，故x₁=，k＞2，
x₁是關于k的減函數，所以x₁的取值范圍是．
t是關于x₁的增函數，定義域為，所以值域為（-∞，0）．
（III）當x₁＜x₂時，由（II）可知|OM|=|t|=-．
類似可得|ON|=．|OM|-|ON|=-．
由①可知x₁x₂=2．
從而|OM|-|ON|=0．
當x₂＜x₁時，有相同的結果|OM|-|ON|=0．
所以|OM|=|ON|．
分析：（I）根據直線與拋物線的右側相交列出關于k的不等式是解決本題的關鍵，即方程組有正根．通過解不等式確定出k的取值范圍；
（II）利用導數的知識和點斜式方程的知識寫出直線的方程是解決本小題的關鍵，令直線方程中的y=0，建立以x₁為自變量的函數t，進而寫出該函數的定義域和值域；
（III）利用類比的思想在第（II）問基礎上得出|OM|與|ON|的表達式，通過作差法進行二者大小的比較，得出結論．
點評：本題考查直線與拋物線的相交問題，考查曲線的切線求法，考查學生的函數思想、不等式思想、轉化與化歸思想，幾何問題代數化的思想．比較法判斷大小問題．