Question

如圖，在三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AB⊥側面BB₁C₁C，已知BB₁=2，AB=

   （I）求證：C₁B⊥平面ABC；

   （II）試在棱CC₁（不包含端點C，C₁）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁；

   （III）在（II）的條件下，求二面角A―EB₁―A₁的平面角的正切值。

Answer 1

解：（I）因為AB⊥側面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁

在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，由余弦定理有

故有BC²+BC²₁=CC²₁    ∴C₁B⊥BC              

而BC∩AB=B且AB，BC平面ABC

∴C₁B⊥平面ABC                                                                          

   （II）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE平面ABE

從而B₁E⊥平面ABF  且BE平面ABE  故BE⊥B₁E                    

不妨設

從而（舍）                               

故E為CC₁的中點時，EA⊥EB₁                                                     

   （III）取EB₁的中點D，A₁E的中點F，BB₁的中點N，AB₁的中點M

連DF則DF//A₁B₁，連DN則DN//BE，連MN則MN//A₁B₁

連MF則MF//BE，且MNDF為矩形，MD//AE

又∵A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁  故∠MDF為所求二面角的平面角         

在（∵△BCE為正三角形）