Question

5．已知函數f（x）=2^x-$\frac{1}{2^x}$（x∈R）．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）若2^xf（2x）+mf（x）≥0對任意的x∈[0，+∞）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域為R，再由f（-x）=-f（x）可得函數f（x）=2^x-$\frac{1}{2^x}$為奇函數；
（2）由2^xf（2x）+mf（x）≥0對任意的x∈[0，+∞）恒成立，可得m≥-（2^2x+1），求出2^2x+1的最大值得答案．

解答 解　（1）由題意，x∈R，
由f（-x）=2^-x-$\frac{1}{{2}^{-x}}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$-2^x=-f（x），知f（x）是奇函數；
（2）當x=0時，m∈R．
x∈（0，+∞）時，要使${2}^{x}（{2}^{2x}-\frac{1}{{2}^{2x}}）+m（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）$≥0，
即$（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）（{2}^{2x}+1+m）$≥0恒成立，
∵x＞0時，2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$＞0恒成立，
∴2^2x+1+m≥0，即m≥-（2^2x+1），
∴m≥-（2⁰+1）=-2．
綜上，m∈[-2，+∞）．

點評 本題考查函數奇偶性的判斷，考查恒成立問題的求解方法，訓練了分離變量法，是中檔題．