Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M（1，-3）、N（5，1），若點C滿足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），點C的軌跡與拋物線：y²=4x交于A、B兩點．
（Ⅰ）求證：

OA

⊥

OB

；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點P（m，0）（m∈R），使得過P點的直線交拋物線于D、E兩點，并以該弦DE為直徑的圓都過原點．若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），知點C的軌跡是M、N兩點所在的直線，
故點C的軌跡方程是：即y=x-4．
由得x²-12x+16=0．
∴x₁x₂=16，x₁+x₂=12
∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=-16
∴x₁x₂+y₁y₂=0   故

OA

⊥

OB

．
（Ⅱ）由題意知：弦所在的直線的斜率不為零．故設弦所在的直線方程為：x=ky+m，
代入 y²=4x 得 y²-4ky-4m=0，∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．
若以弦DE為直徑的圓都過原點，則OD⊥OE，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
即

y 21

4

+

y 22

4

+y1y2=m²-4m，解得m=0 （不合題意，舍去）或 m=4．
∴存在點P（4，0），使得過P點任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點．
設弦AB的中點為M（x，y）  則x=（x₁+x₂），y=（ y₁+y₂），
x₁+x₂=ky₁+4+ky₂+4=k（y₁+y₂）+8=4k²+8，
∴弦AB的中點M的軌跡方程為：
消去k得：y²=2x-8．
∴圓心的軌跡方程為y²=2x-8．