Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b
（1）設E、F分別為AB₁、BC₁的中點，求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：AC⊥AB；
（3）求四面體B₁ABC₁的體積．

Answer 1

解：（1）證明：由題意得，EF是三角形 BA₁C₁的中位線，
∴EF∥A₁C₁，EF∥AC．
而AC?平面ABC，EF不在平面ABC內，∴EF∥平面ABC．
（2）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，
故ABB₁A₁ 為正方形，∴AB₁⊥A₁B．
這樣，AB₁ 垂直于平面A₁BC₁內的兩條相交直線BC₁和A₁B，
∴AB₁⊥平面A₁BC₁ ，得到 AB₁⊥A₁C₁ ，∴AB₁⊥AC．
又由 BB₁⊥AC得到AC⊥平面ABB₁A₁，故 AC⊥AB．
（3）Rt△ABC中，AC==，
故點A到BC的距離h==，
故四面體B₁ABC₁的體積等于==．
分析：（1）由題意得，EF是三角形 BA₁C₁的中位線，可得EF∥A₁C₁，EF∥AC，從而證得EF∥平面ABC．
（2）先證明AB₁⊥平面A₁BC₁ ，可得 AB₁⊥AC，又由 BB₁⊥AC得到AC⊥平面ABB₁A₁，故 AC⊥AB．
（3）Rt△ABC中，求得AC的值，點A到BC的距離h，利用四面體B₁ABC₁的體積等于，求得結果．
點評：本題考查證明線面平行、線線垂直的方法，體現了數形結合的數學思想，證明AC⊥平面ABB₁A₁，是解題的難點．