Question

在正三棱錐P-ABC中，底面正△ABC的中心為O，D是PA的中點，PO=AB=2，求PB與平面BDC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：由題意，由于圖形中已經出現了垂直于底面的高線，所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．
解答：解：以O為坐標原點，OA為x軸，OP為z軸建立空間直角坐標系．因△ABC是正三角形，故y軸平行于BC，而PO=AB=2，則
P（0，0，2），A（，0，0），
B（-，1，0），C（-，-1，0），
D是PA的中點，故D（，0，1）
=（0，-2，0），=（，-1，1）（2分）
設=（x，y，z）是平面BDC的一個法向量，•=0且•=0，
即：，化簡得：（5分）
取x=，則y=0，z=-2，
平面BDC的一個法向量是=（，0，-2），=（-，1，-2）
cos＜，＞==（9分）
由于和所成的角與PB與平面BDC所成角互余，所以PB與平面BDC所成角的正弦值為．（10分）
點評：本題主要考查了直線與平面之間所成角，考查空間想象能力，本題考點是立體幾何中求線面角，這是立體幾何中常考的一個題型，屬于基礎題．