Question

一艘太空飛船飛往地球，第一次觀測時，如圖1發(fā)現(xiàn)一個正三角形的島嶼（邊長為

3

）；第二次觀測時，如圖2發(fā)現(xiàn)它每邊中央

1

3

處還有一正三角形海岬，形成了六角的星形；第三次觀測時，如圖3發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央

1

3

處又有一向外突出的正三角形海岬，把這個過程無限地繼續(xù)下去，就得到著名的數(shù)學模型--柯克島．
（1）把第1，2，3，…，n次觀測到的島的海岸線長記為a₁，a₂，a₃，…，a_n，試求a₁，a₂，a₃的值及a_n的表達式（n∈N^*）；
（2）把第1，2，3，…，n，…次觀測到的島的面積記為b₁，b₂，b₃，…，b_n，…，求bn(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}的前幾項，可得規(guī)律：此n個圖形的邊長構成公比為

1

3

的等比數(shù)列，且它的邊數(shù)構成公比為4的等比數(shù)列，由此結合等比數(shù)列的通項公式即可算出a_n（n∈N^*）的表達式；
（2）將此n個圖形的第k（k∈N^*）個圖形與第k+1個圖形相重疊，可得第k+1個圖形比第k個圖形多出3×4^k-1個邊長為

3

×（

1

3

）^k的正三角形，由此利用正三角形的面積公式、等比數(shù)列的求和公式和累加的方法，可得b_n的表達式．

解答：解：（1）由題意，可得
a1=3

3

，  a2=3

3

×

4

3

=4

3

，  a3=3

3

×(

4

3

)2=

16

3

3

…（3分）
∵第一個圖形的邊長為

3

，從第二個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的

1

3

，
∴第n個圖形的邊長為

3

(

1

3

)n-1；       …（5分）
∵第一個圖形的邊數(shù)為3，從第二個圖形起，每一個圖形的邊數(shù)均為上一個圖形邊數(shù)的4倍，
∴第n個圖形的邊數(shù)為3×4^n-1．
因此，可得a_n的表達式為：an=3

3

(

4

3

)n-1．…（7分）
（2）∵b1=

3 3

4

，bn=bn-1+3×4n-2×

3

4

(

3

(

1

3

)n-1)2=bn-1+

3

4

(

4

9

)n-2，…（11分）
∴b2-b1=

3

4

×(

4

9

)0，b3-b2=

3

4

×(

4

9

)1，…，bn-bn-1=

3

4

×(

4

9

)n-2
累加并利用等比數(shù)列的求和公式可得
bn=b1+

3

4

[(

4

9

)0+(

4

9

)1+…+(

4

9

)n-3+(

4

9

)n-2]=

6

5

3

-

9 3

20

(

4

9

)n-1．…（14分）

點評：本題給出實際應用問題，求“柯克島”的周長和面積．著重考查了等比數(shù)列的通項公式、求和公式和歸納推理的一般方法等知識，屬于中檔題．