Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右焦點分別為F₁，F₂，P為橢圓上任意一點，張角F₁PF₂=120°，若半長軸與半焦距為方程4x²-32x+15=0的兩根，則△F₁F₂P的內接圓周長為（　　）

• A．14

  3

  π
• B．7

  3

  π
• C．9

  3

  π
• D．21

  3

  π

Answer 1

分析：解題中一元二次方程，得a=7.5且c=0.5，從而得到|PF₁|+|PF₂|=2a=15，焦距|F₁F₂|=1．△F₁F₂P中利用余弦定理列式，解出|PF₁|•|PF₂|=224，從而算出△PF₁F₂的面積S=56

3

．再利用三角形的面積公式列出關于內切圓半徑r的等式，解出r=2

3

即可算出△F₁F₂P的內接圓周長．

解答：解：∵半長軸與半焦距為方程4x²-32x+15=0的兩根，
∴解此方程，可得半長軸a=7.5，半焦距c=0.5
設|PF₁|=m，|PF₂|=n，根據橢圓的定義得m+n=2a=15
又∵橢圓上點P滿足∠F₁PF₂=120°，
∴由余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos120°
即1²=m²+n²+mn，配方可得（m+n）²=1+mn=225，得mn=224
因此△PF₁F₂的面積S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin120°=

1

2

×224×

3

2

=56

3

設△F₁F₂P的內接圓半徑為r，則
S=

1

2

（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）r=56

3

，即

1

2

×16r=56

3

，r=7

3

∴△F₁F₂P的內接圓周長為2πr=14

3

故選：A

點評：本題著重考查了橢圓的定義與標準方程、橢圓的簡單性質、三角形面積公式、余弦定理和三角形內切圓半徑的求法等知識，屬于中檔題．