Question

設a∈R，函數f（x）=ax³-3x²．
（1）若x=2是函數y=f（x）的極值點，求實數a的值；
（2）若函數g（x）=e^xf（x）在[0，2]上是單調減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件“x=2是函數y=f（x）的極值點”可知f'（2）=0，解出a，需要驗證在x=2處附近的導數符號有無改變；
（2）由在[0，2]上是單調減函數可轉化成在[0，2]上導函數恒小于零，再借助參數分離法分離出參數a，再利用導數法求出另一側的最值即可．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
因為x=2是函數y=f（x）的極值點，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，
所以a=1．經檢驗，當a=1時，x=2是函數y=f（x）的極值點．
即a=1．（6分）
（Ⅱ）由題設，g′（x）=e^x（ax³-3x²+3ax²-6x），又e^x＞0，
所以，?x∈（0，2]，ax³-3x²+3ax²-6x≤0，
這等價于，不等式對x∈（0，2]恒成立．
令（x∈（0，2]），
則，
所以h（x）在區間（0，2]上是減函數，
所以h（x）的最小值為．
所以．即實數a的取值范圍為．（13分）
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．