Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，    

b

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，

c

=(

3

，-1)，其中x∈R，
（1）當

a

•

b

=

1

2

時，求x值的集合；
（2）設函數f(x)=(

a

-

c

)2，求f（x）的最小正周期及其單調增區間．

Answer 1

分析：（1）通過

a

•

b

=

1

2

時，利用兩角和的余弦函數，化簡函數為 一個角的一個三角函數的形式，然后求x值的集合；
（2）通過f(x)=(

a

-

c

)2，利用兩角和與差的三角函數的化簡函數的表達式，直接求f（x）的最小正周期及其單調增區間．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)•(cos

x

2

，sin

x

2

)
=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x=

1

2

．
∴2x=2kπ±

π

3

，
x=kπ±

π

6

，k∈Z．
（2）∵

a

-

c

 =（cos

3x

2

-

3

，sin

3x

2

+1）
∴f（x）=（cos

3x

2

-

3

）²+（sin

3x

2

+1）²=5-2

3

cos

3x

2

+2sin

3x

2

5+4（

1

2

cos

3x

2

+

3

2

sin

3x

2

）=5+4sin（

3x

2

-

π

3

），
所以函數的最小正周期為：T=

2π

3 2

=

4π

3

．
因為2kπ-

π

2

≤

3x

2

-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即

4kπ

3

-

π

9

≤x≤ 

4π

3

+

5π

9

時，函數5+4sin（

3x

2

-

π

3

）單調遞增，
則函數f（x）的單調增區間為[

4kπ

3

-

π

9

，

4π

3

+

5π

9

]，k∈Z}．

點評：此題考查了三角函數的周期，單調增區間的求法，涉及的知識有，向量的數量積的應用，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，以及正弦函數的單調性，其中利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的三角函數是解此類題的關鍵．