Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+x2+bx（a為實常數）．
（1）若a=﹣2，b=﹣3，求f（x）的單調區間；
（2）若b=0，且a＞﹣2e2 ， 求函數f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值；
（3）設b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=﹣2，b=﹣3時，f（x）=﹣2lnx+x2﹣3x，定義域為（0，+∞），

，

在（0，+∞）上，f′（2）=0，當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，

所以函數f（x）的單調增區間為（2，+∞）；單調減區間為（0，2）；

（2）解：因為b=0，所以f（x）=alnx+x2 ，

x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]，

（i） 若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非負（僅當a=﹣2，x=1時，f'（x）=0），

故函數f（x）在[1，e]上是增函數，

此時[f（x）]min=f（1）=1；

（ii）若﹣2e2＜a＜﹣2，a+2＜0，a+2e2＞0，

，x∈[1，e]，

當 時，f'（x）=0， ，

當 時，f'（x）＜0，此時f（x）是減函數；

當 時，f'（x）＞0，此時f（x）是增函數．

故 ；

（3）解：b=0，f（x）=alnx+x2不等式f（x）≤（a+2）x，

即alnx+x2≤（a+2）x可化為a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．

因為x∈[1，e]，所以lnx≤1≤x且等號不能同時取，

所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而 （x∈[1，e]），

令 （x∈[1，e]），又 ，

當x∈[1，e]時，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，

從而g'（x）≥0（僅當x=1時取等號），所以g（x）在[1，e]上為增函數，

故g（x）的最小值為g（1）=﹣1，所以實數a的取值范圍是[﹣1，+∞）

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值即可；（3）問題轉化為 （x∈[1，e]），令 （x∈[1，e]），根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．