Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

3

，A、B是橢圓上關于x、y軸均不對稱的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（1，0），設AB的中點為C（x₀，y₀），則x₀的值為（　　）

• A、

  9

  5

• B、

  9

  4

• C、

  4

  9

• D、

  5

  9

Answer 1

分析：本題涉及到垂直平分線，與斜率和中點有關，所以先由A、B是橢圓上關于x、y軸均不對稱的兩點得到：

x12

a2

+

y12

b2

=1①

x22

a2

+

y22

b2

=1②兩式作差得到斜率與中點的關系，再由線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（1，0），轉化斜率

y1-y2

x1-y1

= -

x0-1

y0

轉化為：-

b2x0

a2y0

 = -

x0-1

y0

求解．

解答：解：∵A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是橢圓上關于x、y軸均不對稱的兩點
∴

x12

a2

+

y12

b2

=1①

x22

a2

+

y22

b2

=1②
由①-②得：

y1-y2

x1-y1

=-

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

=

b2x0

a2y0

∵線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（1，0），
∴

y1-y2

x1-y1

= -

x0-1

y0

∴-

b2x0

a2y0

 = -

x0-1

y0

解得：x0=

a2

c2

=

9

4

故選B．

點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關系及方程的應用，這里主要涉及了線段的垂直平分線，用點差法尋求斜率與中點的關系的問題．