Question

已知a＞0，函數f(x)=

1-ax

x

，x∈（{0，+∞}），設0＜x1＜

2

a

，記曲線y=f（x）在點M（x₁，f（x₁））處的切線為l，
（1）求l的方程；
（2）設l與x軸交點為（x₂，0）證明：0＜x2≤

1

a

．

Answer 1

（1）f（x）的導數f′(x)=-

1

x2

，由此得切線l的方程y-

1-ax1

x1

=-

1

x 21

(x-x1)；
（2）依題得，切線方程中令y=0，得x₂=x₁（1-ax₁）+x₁=x₁（2-ax₁），其中0＜x1＜

2

a

，
由0＜x1＜

2

a

，x₂=x₁（2-ax₁），有x₂＞0，及x2=-a(x1-

1

a

)2+

1

a

，
∴0＜x2≤

1

a

，當且僅當x1=

1

a

時，x2=

1

a

．