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(1)已知數(shù)列{cn},其中cn=2n+3n,且數(shù)列{cn+1-pcn}為等比數(shù)列,求常數(shù)p;
(2)設(shè){an}、{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列,cn=an+bn,證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列.
(1)因?yàn)閧cn+1-pcn}是等比數(shù)列,故有
(cn+1-pcn2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1),
將cn=2n+3n代入上式,得
[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2
=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]•[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],
即[(2-p)2n+(3-p)3n]2
=[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1][(2-p)2n-1+(3-p)3n-1],
整理得
1
6
(2-p)(3-p)•2n•3n=0,
解得p=2或p=3.
(2)設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q,p≠q,cn=an+bn
為證{cn}不是等比數(shù)列只需證c22≠c1•c3
事實(shí)上,c22=(a1p+b1q)2=a12p2+b12q2+2a1b1pq,
c1•c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a12p2+b12q2+a1b1(p2+q2).
由于p≠q,p2+q2>2pq,又a1、b1不為零,
因此c22≠c1•c3,故{cn}不是等比數(shù)列.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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