Question

已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，數(shù)列是等差數(shù)列，令集合

，，．將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為．

（1）若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，數(shù)列的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，且，，求滿足

的正整數(shù)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（1）若，因?yàn)?，6，7 ，則5，6，7，

由此可見，等差數(shù)列的公差為1，而3是數(shù)列中的項(xiàng)，

所以3只可能是數(shù)列中的第1，2，3項(xiàng)，

若，則， 若，則，

若，則.          

（2）首先對元素2進(jìn)行分類討論：

①若2是數(shù)列的第2項(xiàng)，由的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，

得，這顯然不可能；

    ②若2是數(shù)列的第3項(xiàng)，由的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得，

    因?yàn)閿?shù)列是將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的，

    所以，則，因此數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1，，2，，4，

    這樣，則數(shù)列的前9項(xiàng)分別為1，，2，，4，，，，8，  上述數(shù)列符合要求；

③若2是數(shù)列的第項(xiàng)（），則，即數(shù)列的公差，  所以，1，2，4<，所以1，2，4在數(shù)列的前8項(xiàng)中，由于，這樣，，，…，以及1，2，4共9項(xiàng)，它們均小于8，

即數(shù)列的前9項(xiàng)均小于8，這與矛盾。

綜上所述，，-

其次，當(dāng)時(shí)， ， ，，

當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)?sub>是公差為的等差數(shù)列，

所以，

所以，

此時(shí)的不符合要求。所以符合要求的一共有5個(gè)。-