Question

如圖，在正四棱臺(tái)內(nèi)，以小底為底面．大底面中心為頂點(diǎn)作一內(nèi)接棱錐．已知棱臺(tái)小底面邊長(zhǎng)為b，大底面邊長(zhǎng)為a，并且棱臺(tái)的側(cè)面積與內(nèi)接棱錐的側(cè)面面積相等，求這個(gè)棱錐的高，并指出有解的條件．

Answer 1

解：如圖，過(guò)高OO₁和AD的中點(diǎn)E作棱錐和棱臺(tái)的截面，得棱臺(tái)的斜高EE₁和棱錐的斜高為EO₁，設(shè)OO₁=h，∴

∵OO₁E₁E是直角梯形，其中
∴根據(jù)勾股定理得，
①式兩邊平方，把②代入得：
解得，即
顯然，由于a＞0，b＞0，所以此題當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才有解．
分析：這是棱臺(tái)與棱錐的組合體問(wèn)題，也是立體幾何常見(jiàn)的問(wèn)題，這類問(wèn)題的圖形往往比較復(fù)雜，要認(rèn)真分析各有關(guān)量的位置和大小關(guān)系，因?yàn)樗鼈兊母髁恐�間的關(guān)系較密切，所以常引入方程、函數(shù)的知識(shí)去解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了在棱臺(tái)的問(wèn)題中：如果與棱臺(tái)的斜高有關(guān)，則常應(yīng)用通過(guò)高和斜高的截面，如果和棱臺(tái)的側(cè)棱有關(guān)，則需要應(yīng)用通過(guò)側(cè)棱和高的截面，要熟悉這些截面中直角梯形的各元素，進(jìn)而將這些元素歸結(jié)為直角三角形的各元素間的運(yùn)算，這是解棱臺(tái)計(jì)算問(wèn)題的基本技能之一．