Question

（理）在平面直角坐標系xOy中，向量

j

=(0，1)，△OFQ的面積為2

3

，且

OF

•

FQ

=m，

OM

=

3

3

OQ

+

j

．
（Ⅰ）設4＜m＜4

3

，求向量

OF

與

FQ

的夾角的取值范圍；
（II）設以O為中心，對稱軸在坐標軸上，以F為右焦點的橢圓經過點M，且|

OF

|=c，m=(

3

-1)c2．是否存在點Q，使|

OQ

|最短？若存在，求出此時橢圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設向量

OF

與

FQ

的夾角為θ，利用△OFQ的面積為2

3

，可得|

OF

|•|

FQ

|=

4 3

sinθ

，所以有cosθ=

OF • FQ

| OF |•| FQ |

=

msinθ

4 3

，得tanθ=

4 3

m

．利用4＜m＜4

3

，可得1＜tanθ＜

3

，從而可求夾角θ的取值范圍；（II）設Q（x₀，y₀），則

FQ

=（x₀-c，y₀），

OF

=（c，0），用c表示出|

OQ

|，利用基本不等式求最小值，從而可得

OQ

=(2

3

，±2

3

)，利用

OM

=

3

3

OQ

+

j

可得

OM

=

3

3

(2

3

，2

3

)+(0，1)=(2，3)
或

OM

=

3

3

(2

3

，-2

3

)+(0，1)=(2，-1)，由此可求出橢圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）設向量

OF

與

FQ

的夾角為θ
∵△OFQ的面積為2

3

，
∴2

3

=

1

2

|

OF

||

FQ

|•sinθ，
∴|

OF

|•|

FQ

|=

4 3

sinθ

，
由cosθ=

OF • FQ

| OF |•| FQ |

=

msinθ

4 3

，得tanθ=

4 3

m

．
∵4＜m＜4

3

∴1＜tanθ＜

3

∵θ∈[0，π]
∴夾角θ的取值范圍是（

π

4

，

π

3

）
（II）設Q（x₀，y₀），則

FQ

=（x₀-c，y₀），

OF

=（c，0）．
∴

OF

•

FQ

=(x0-c，y0)•(c，0)=(x0-c)c=m=(

3

-1)c2∴x0=

3

c
∵△OFQ的面積為2

3

，
∴S△OFQ=

1

2

|

OF

|•|y0|=2

3

∴y0=±

4 3

c

∴|

OQ

|=

x 2 0 + y 2 0

=

( 3 c)2+( 4 3 c )2

≥

2 3 c• 4 3 c

=2

6

∴當且僅當

3

c=

4 3

c

，即c=2時，|

OQ

|取最小值2

6

，此時，

OQ

=(2

3

，±2

3

)
∵

OM

=

3

3

OQ

+

j

∴

OM

=

3

3

(2

3

，2

3

)+(0，1)=(2，3)
或

OM

=

3

3

(2

3

，-2

3

)+(0，1)=(2，-1)
橢圓長軸2a=

(2-2)2+(3-0)2

+

(2+2)2+(3-0)2

=8∴a=4，b2=12
或2a=

(2-2)2+(-1-0)2

+

(2+2)2+(-1-0)2

=1+

17

∴a=

1+ 17

2

，b2=

1+ 17

2

故所求橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1或

x2

9+ 17 2

+

y2

1+ 17 2

=1

點評：本題以向量為載體，考查向量的夾角，考查基本不等式，考查橢圓的標準方程，計算較繁，需要細心．