Question

（本小題滿分13分）
已知數列｛｝中，對一切，點在直線y=x上，
(Ⅰ)令，求證數列是等比數列，并求通項（4分）；
(Ⅱ)求數列的通項公式（4分）；
(Ⅲ)設的前n項和,是否存在常數，使得數列 為等差數列？若存在，試求出 若不存在,則說明理由（5分）.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
（Ⅲ）當且僅當時，數列是等差數列  .

(I)利用等比數列的定義,
從而證明是等比數列,其通項公式為.
(II)在（I）的基礎上可求出然后再采用疊加求通項的方法求a_n.
(III)可以先利用成等差數列求出=2，然后再利用等差數列的定義證明當=2時，為等差數列即可.
（Ⅰ）由已知得       
又    

是以為首項，以為公比的等比數列 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
       
    

將以上各式相加得：


（Ⅲ）解法一：存在，使數列是等差數列 




數列是等差數列的充要條件是、是常數
即
又

當且僅當，即時，數列為等差數列 
解法二： 存在，使數列是等差數列 
由（I）、（II）知，

    
又

當且僅當時，數列是等差數列  .