Question

設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0；f（1）=-2．
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并證明；
（3）求使2≤|f（x）|≤6成立的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）證明：令x=y=0，則有f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，
令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數．
（2）在定義域內任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
又∵f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在R上為減函數．
（3）∵f（1）=-2，
∴根據題意可得：f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，
∴根據函數的奇偶性可得：f（-1）=-f（1）=2，f（-3）=6，
∵2≤|f（x）|≤6，
∴-6≤f（x）≤-2，或2≤f（x）≤6
∴f（3）=-6≤f（x）≤-2=f（1），f（-1）=2≤f（x）≤6=f（-3）
又∵f（x）是R上的減函數．
∴1≤x≤3或-3≤x≤-1，
∴x的取值范圍為[-3，-1]∪[1，3]．
分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0，再令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x），進而根據奇函數的定義得到函數的奇偶性．
（2）在定義域內任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＜0，再根據題意可得：f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）＞0，進而根據減函數的定義得到答案．
（3）根據題意可得：f（3）=-6，f（-1）═2，f（-3）=6，即可得到f（3）≤f（x）≤f（1），f（-1）≤f（x）≤f（-3），進而根據函數的單調性得到x的取值范圍．
點評：本題只要考查是抽象函數的有關性質，如奇偶性、單調性與范圍問題，以及函數性質的應用，解決此類問題的關鍵是靈活利用賦值法求函數值，以及靈活變形進而證明函數單調性并且利用函數的單調性解決問題，此題屬于中檔題．