Question

已知數列{a_n}的首項a₁=1，其前n項和為S_n，且對任意正整數n，有n，a_n，S_n成等差數列．

(1)求證：數列{S_n+n+2}成等比數列；

(2)求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

解：(1)∵n,a_n，S_n成等差數列  ∴2a_n=n+S_n

又a_n=S_n-S_n-1(n≥2)

∴2(S_n-S_n-1)=n+S_n         即S_n=2S_n-1+n

∴S_n+n+2=2S_n-1+2(n+1)=2[S_n-1+(n-1)+2]

且S₁+1+2=4≠0

∴{S_n+n+2}是等比數列

(2)∵ S_n+n+2=4·2^n-1=2ⁿ⁺¹    ∴S_n=2ⁿ⁺¹-n-2

∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1

又當n=1時，a₁=S₁=1-2¹-1       ∴a_n=2ⁿ-1