Question

數(shù)列an=log2

n+1

n+2

(n∈N*)，設(shè)其前n項(xiàng)和為S_n，則使S_n＜-5成立的自然數(shù)n（　　）

A．有最小值63

B．有最大值63

C．有最小值31

D．有最大值31

Answer 1

分析：根據(jù)題中已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式求出其前n項(xiàng)和的S_n的表達(dá)式，然后令S_n＜-5即可求出n的取值范圍，即可知n有最小值．

解答：解：由題意可知；a_n=log₂

n+1

n+2

（n∈N^*），
設(shè){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=log₂

2

3

+log₂

3

4

+…+log₂

n

n+1

+log₂

n+1

n+2

，
=[log₂2-log₂3]+[log₂3-log₂4]+…+[log₂n-log₂（n+1）]+[log₂（n+1）-log₂（n+2）]
=[log₂2-log₂（n+2）]=log₂

2

n+2

＜-5，
即

2

n+2

＜2^-5
解得n+2＞64，
n＞62；
∴使S_n＜-5成立的自然數(shù)n有最小值為63．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．