Question

在△ABC中，已知內角A=

π

3

，邊BC=2

3

．設內角B=x，△ABC的面積為y．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式和定義域；
（Ⅱ）當角B為何值時，△ABC的面積最大．

Answer 1

分析：（I）由已知角A及三角形的內角和定理可求x的范圍，然后由正弦定理，

AC

sinB

=

BC

sinA

可利用x表示AC，代入三角形的面積公式，即可求解
（II）利用兩角差的正弦公式及輔助角公式對（I）中的函數關系進行化簡，結合正弦函數的性質即可求解取得最大值時的x即B及相應的最大值

解答：解：（I）∵A=

π

3

，且A+B+C=π
∴0＜B＜

2π

3

即0＜x＜

2π

3

由正弦定理可得，

AC

sinB

=

BC

sinA

∴AC=

BC

sinA

sinB=4sinx
y=

1

2

AB•ACsinA=4

3

sinxsin（

2π

3

-x）(0＜x＜

2π

3

)
（II）y=4

3

sinxsin（

2π

3

-x）=4

3

sinx(

3

2

cosx+

1

2

sinx)
=6sinxcosx+2

3

sin2x
=3sin2x+2

3

×

1-cos2x

2

=2

3

sin(2x-

π

6

)+

3

（-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

）
當2x-

π

6

=

π

2

即x=

π

3

時，y取得最大值3

3

∴B=

1

3

π時，△ABC的面積最大為3

3

點評：本題綜合考查了三角形的正弦定理、內角和定理及兩角差的正弦公式、輔助角公式及正弦函數的性質等知識的綜合應用．