Question

設a₁，a₂，…，a_n為正數，證明

a1+a2+…+an

n

≥

n

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

．

Answer 1

分析：要證明

a1+a2+…+an

n

≥

n

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

，只要證明（a₁+a₂+…+a_n）（

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

）≥n²，利用基本不等式，即可得到結論．

解答：證明：∵a₁，a₂，…，a_n為正數，
∴要證明

a1+a2+…+an

n

≥

n

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

，
只要證明（a₁+a₂+…+a_n）（

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

）≥n²
∵a₁+a₂+…+a_n≥n

n	a1a2…an

，

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

≥n

n	1 a1a2…an

∴兩式相乘，可得（a₁+a₂+…+a_n）（

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

）≥n²
∴原不等式成立．

點評：本題考查不等式的證明，考查分析法、綜合法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．