Question

在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且滿足4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）設

m

=(sin2A，-cosC)，

n

=(-

3

，1)，

m

•

n

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理求得cosB=

1

2

，再由B∈（0，

π

2

）可得 B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A+C=

2π

3

，C=

2π

3

-A，根據△ABC是銳角三角形，求出角A的范圍，由兩角差的余弦公式化簡

m

•

n

的解析式為cos（2A+

π

3

），由2A+

π

3

的范圍，進而得到cos（2A+

π

3

）的范圍，由此求得

m

•

n

=cos（2A+

π

3

）的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵4a²cosB-2accosB=a²+b²-c² ，
∴4a²cosB-2ac

a2+c2-b2

2ac

=a²+b²-c² ．∴cosB=

1

2

．
再由B∈（0，

π

2

），可得  B=

π

3

．
（Ⅱ）∵

m

=(sin2A，-cosC)，

n

=(-

3

，1)，
∴

m

•

n

=-

3

sinA-2cos2C=-

3

sinA-2cos（

4π

3

-2A）=

1

2

cos2A-

3

2

sin2A=cos（2A+

π

3

）． 
由（Ⅰ）可得A+C=

2π

3

，股 C=

2π

3

-A．
∵△ABC是銳角三角形，∴0＜

2π

3

-A＜

π

2

，∴

π

6

＜A＜

π

2

，故 2A+

π

3

∈（

2π

3

，

4π

3

），
∴-1≤cos（2A+

π

3

）＜-

1

2

，∴

m

•

n

∈[-1，-

1

2

），
即

m

•

n

的取值范圍為[-1，-

1

2

）．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，余弦定理，兩角差的余弦公式的應用，屬于中檔題．