Question

設S為滿足下列兩個條件的實數所構成的集合,

①S內不含1;

②若a∈S,則∈S.

解答下列問題:

(1)若2∈S,則S中必有其他兩個數,求出這兩個數;

(2)求證:若a∈S,則1-∈S;

(3)在集合S中元素的個數能否只有一個？請說明理由.

Answer 1

思路分析:理解集合中元素的屬性是解決問題的突破口,由(1)、(2)知S中不能只有一個元素,對問題(3),若從正面考慮有困難,可逆向思考,即正難則反.

(1)解:∵2∈S,∴∈S,即-1∈S∴∈S,即∈S.

(2)證明:∵a∈S,∴∈S.∴=1-∈S.

(3)解:(用反證法)假設S中只有一個元素,則有a=1-,即a²-a+1=0,方程無實數解,

∴集合S中不能只有一個元素.

評述:元素是否屬于某個集合,關鍵是看它是否適合集合的公共屬性.反證法是證明問題的一種重要方法,應讓學生逐步掌握.