Question

已知函數f(x)=ln(2+3x)-

3

2

ax2，在x=

1

3

時取得極值，若關于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

∵f′(x)=

3

2+3x

-3ax，由f′(

1

3

)=0，得a=1
∴f(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2（3分）
由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b=0，（4分）
令?(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b，則?′(x)=

3

2+3x

-3x+2=

7-9x2

2+3x

當x∈[0，

7

3

]時，?'（x）＞0，于是?（x）在[0，

7

3

]上遞增；當x∈[

7

3

，1]時，?'（x）＜0，于是?（x）在[

7

3

，1]上遞減，而?(

7

3

)＞?(0)，?(

7

3

)＞?(1)（8分）
∴f（x）=-2x+b即?（x）=0在[0，1]上恰有兩個不同實根等價于

?(0)=ln2-b≤0 ?( 7 3 )=ln(2+ 7 )- 7 6 + 2 7 3 -b＞0 ?(1)=ln5+ 1 2 -b≤0

，（10分）
解得ln5+

1

2

≤b＜ln(2+

7

)-

7

6

+

2 7

3

（12分）