Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，且有

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

，求首項(xiàng)a₁的取值范圍．

Answer 1

分析：由

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

，我們可得

lim

n→∞

qⁿ一定存在，然后分0＜|q|＜1和q=1進(jìn)行分類討論，即可求出滿足條件的首項(xiàng)a₁的取值范圍．

解答：解：

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

，
∴

lim

n→∞

qⁿ一定存在．∴0＜|q|＜1或q=1．
當(dāng)q=1時，

a1

2

-1=

1

2

，∴a₁=3．
當(dāng)0＜|q|＜1時，由

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

得

a1

1+q

=

1

2

，∴2a₁-1=q．
∴0＜|2a₁-1|＜1．∴0＜a₁＜1且a₁≠

1

2

．
綜上，得0＜a₁＜1且a₁≠

1

2

或a₁=3．

點(diǎn)評：當(dāng)

lim

n→∞

qⁿ一定存在時，一定要注意分類討論，當(dāng)q=1時，

lim

n→∞

qⁿ=1，當(dāng)0＜|q|＜1時，

lim

n→∞

qⁿ=0．