Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且對任意的a，b∈[-1，1]，當a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）用定義證明f（x） 在[-1，1]上為增函數；
（2）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大小； 
（3）解不等式f（2x-

1

2

）＜f（x-

1

4

）．

Answer 1

分析：（1）設-1≤x₁＜x₂≤1，則x₂-x₁＞0，即x₂+（-x₁）＞0，由a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，得f（x₂）+f（-x₁）＞0，由f（x）為奇函數可得f（x₁）＜f（x₂），根據增函數的定義可作出判斷；
（2）利用f（x）的單調性可作出大小比較；
（3）根據函數的單調性可去掉符號“f”，轉化為具體不等式，注意考慮函數的定義域；

解答：解：（1）設-1≤x₁＜x₂≤1，
則x₂-x₁＞0，即x₂+（-x₁）＞0，
由a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，得

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，∴f（x₂）+f（-x₁）＞0，
又∵f（x）為奇函數，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上為增函數；
（2）∵-1≤b＜a≤1，且f（x）在[-1，1]上為增函數，
∴f（a）＞f（b）；
（3）∵f（x）在[-1，1]上為增函數，
∴f(2x-

1

2

)＜f(x-

1

4

)?

-1≤2x- 1 2 ≤1 -1≤x- 1 4 ≤1 2x- 1 2 ＜x- 1 4

，解得-

1

4

≤x＜

1

4

，
故原不等式解集為{x|-

1

4

≤x＜

1

4

}．

點評：本題考查函數單調性的判斷證明、單調性的性質及其應用，考查抽象不等式的求解，抽象函數單調性的判斷一般利用定義解決．