Question

21.從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業.根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少.本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加.

Ⅰ.設n年內(本年度為第一年)總投入為a_n萬元，旅游業總收入為b_n萬元.寫出a_n,b_n的表達式；

Ⅱ.至少經過幾年旅游業的總收入才能超過總投入？

Answer 1

21.本小題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式等基礎知識；考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力.

　

解：Ⅰ.第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，……，第n年投入為

800×(1－)^n－1萬元.

所以，n年內的總投入為

a_n=800+800×(1－)＋…＋800×(1－)^n－1

=800×(1－)^k－1

=4000×[1－()ⁿ]；

第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400×(1＋)萬元，……，第n年旅游業收入為

400×(1＋)^n－1萬元.

所以，n年內的旅游業總收入為

b_n=400＋400×(1＋)＋…＋400×(1＋)^n－1

   =400×()^k－1

   =1600×[()ⁿ－1].

 

Ⅱ.設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入，由此b_n－a_n＞0，

即　1600×[()ⁿ－1]－4000×[1－()ⁿ]＞0.

化簡得　5×()ⁿ+2×()ⁿ－7＞0，

設x=()ⁿ，代入上式得5x²－7x+2＞0，

解此不等式，得x＜，x＞1(舍去).

即　()ⁿ＜，

由此得　n≥5.

答：至少經過5年旅游業的總收入才能超過總投入.