Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx-3a（a，b，c∈R且a≠0），當x=-1時，f（x）取到極大值2．
（1）用a分別表示b和c；
（2）當a=l時，求f（x）的極小值；
（3）求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，由已知在x=-1處f（x）取得極大值2，代入可得方程組

f(-1)=2 f′(-1)=0

進一步得到a，b，c的關系．
（2）當a=l時，令f′（x）=0，可得x=-1 x=-

1

3

．根據f′（x）的符號可得當 x=-

1

3

時，函數f（x）有極小值為f（-

1

3

）．
（3）在（1）的基礎上得到函數f（x）的導數f^′（x）=3ax²+2（a+1）x+2-a，由已知要使函數f（x）有極大值需要對二次項系數a和極值點進行討論，易得結論．

解答：解：（1）∵函數f（x）=ax³+bx²+cx-3a，∴f′（x）=3ax² +2bx+c．
由題意可得

f(-1)=2 f′(-1)=0

，即

-a+b-c-3a=2 3a-2b+c=0

，解得

b=a+1 c=2-a

．
（2）當a=l時，b=2，c=1，函數f（x）=x³ +2x² +x-3，
令f′（x）=3x² +4x+1=（3x+1）（x+1）=0，可得x=-1 x=-

1

3

．
在（-∞，-1）、（-

1

3

，+∞）上，f′（x）＜0，在（-1，-

1

3

）上f′（x）＞0，
故當 x=-

1

3

時，函數f（x）有極小值為f（-

1

3

）=-

82

27

．
（3）由（1）得f′（x）=3ax2+2（a+1）x+2-a=3a（x+1）（x-

a-2

3-a

），
令f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=

a-2

3a

，
∴要使f（x）極大值為f（-1）=2，
則

a＞0 a-2 3a ＞-1

，或

a＜0 a-2 3a ＜-1

．
解得 a＞

1

2

．

點評：本題考查了函數的導數，導數的幾何意義，以及利用導數解答函數的極值問題，考查了二次函數的性質，綜合考查了函數的零點以及分類討論的數學思想，屬于基礎題．