Question

已知：函數f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（2）若a=9，b=1，求函數f（x）的單調區間與極值點．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，根據曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切，則f'（2）=0，f（2）=0建立方程組，解之即可求出a和b的值；
（2）先求出f'（x）=0的值，然后判定導數符號確定函數的單調區間，根據極值的定義判定極值點，代入函數解析式求出極值即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切，
∴

f′(2)=0 f(2)=8

?

3(4-a)=0 8-6a+b=8

?

a=4 b=24

（2）∵f（x）=x³-27x+1，∴f'（x）=3x²-27，令f'（x）=0，則x=±3，即：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大	減	極小	增

則函數f（x）=x³-27x+1的單調增區間是：（-∞，-3），（3，+∞）
單調減區間是：（-3，3）
x=-3是極大值點，極大值為f（-3）=55；
x=3是極小值點，極小值為f（3）=-53．

點評：本題主要考查了導數的幾何意義，以及利用導數研究函數單調性和極值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．