Question

【題目】已知函數(shù)f（x），定義
（Ⅰ）寫出函數(shù)F（2x﹣1）的解析式；
（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）當(dāng) 時，求h（x）=cosxF（x+sinx）的零點(diǎn)個數(shù)和值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）定義 ，

當(dāng)2x﹣1＞x，可得x＞1，則F（2x﹣1）=1；

當(dāng)2x﹣1=x，可得x=1，則F（2x﹣1）=0；

當(dāng)2x﹣1＜x，可得x＜1，則F（2x﹣1）=﹣1；

可得F（2x﹣1）= ；

（Ⅱ）當(dāng)x＞1時，F(xiàn)（2x﹣1）=1，F(xiàn)（|x﹣a|）=﹣1，

即有|x﹣a|＜x恒成立，即為a2≤2ax在x＞1恒成立，

即有a2≤2a，解得0≤a≤2；

當(dāng)x=1時，F(xiàn)（2x﹣1）=0，F(xiàn)（|x﹣a|）=0，

可得|1﹣a|=1，解得a=0或2；

當(dāng)x＜1時，F(xiàn)（2x﹣1）=﹣1，F(xiàn)（|x﹣a|）=1，

即有|x﹣a|＞x恒成立，即為a2≥2ax在x＜1恒成立，

即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0；

則a的值為0或2；

（Ⅲ）當(dāng) 時，h（x）=cosxF（x+sinx）=0，

可得cosx=0或F（x+sinx）=0，

即有x= ；x+sinx=x，即sinx=0，解得x=π，

則h（x）的零點(diǎn)個數(shù)為2；

當(dāng)x+sinx＞x，即 ≤x＜π時，h（x）=cosx∈（﹣1， ]；

當(dāng)x+sinx=x，即x=π時，h（x）=0；

當(dāng)x+sinx＜x，即π＜x≤ 時，h（x）=﹣cosx∈[ ，1）．

綜上可得，h（x）的值域為（﹣1，1）．

【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，討論2x-1所在的區(qū)間，從而得到F（2x-1）的解析式，（2）對x進(jìn)行討論，由F（2x-1）求得F（|x﹣a|），運(yùn)用恒成立思想，即可得到a的值，（3）當(dāng)h（x）=0時，可得cosx=0或F（x+sinx）=0，對x+sinx進(jìn)行討論，在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)求得值域，綜上得到h（x）的值域.