Question

已知△AOB的頂點A在射線上，A，B兩點關于x軸對稱，O為坐標原點，且線段AB上有一點M滿足|AM|•|MB|=3．當點A在l上移動時，記點M的軌跡為W．
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）設P（-1，0），Q（2，0），求證：∠MQP=2∠MPQ．

Answer 1

（Ⅰ）解：因為A，B兩點關于x軸對稱，
所以AB邊所在直線與y軸平行．
設M（x，y），由題意，得，
所以，
因為|AM|•|MB|=3，
所以，即，
所以點M的軌跡W的方程為．
（Ⅱ）證明：設M（x₀，y₀）（x₀＞0），
因為曲線關于x軸對稱，
所以只要證明“點M在x軸上方及x軸上時，∠MQP=2∠MPQ”成立即可．
以下給出“當y₀≥0時，∠MQP=2∠MPQ”的證明過程．
因為點M在上，所以x₀≥1．
當x₀=2時，由點M在W上，得點M（2，3），
此時MQ⊥PQ，|MQ|=3，|PQ|=3，
所以，則∠MQP=2∠MPQ；
當x₀≠2時，直線PM、QM的斜率分別為，
因為x₀≥1，x₀≠2，y₀≥0，所以，且，
又tan∠MPQ=k_PM，所以，且，
所以=，
因為點M在W上，所以，即y₀²=3x₀²-3，
所以tan2∠MPQ=，
因為tan∠MQP=-k_QM，
所以tan∠MQP=tan2∠MPQ，
在△MPQ中，因為，且，∠MQP∈（0，π），
所以∠MQP=2∠MPQ．
綜上，得當y₀≥0時，∠MQP=2∠MPQ．
所以對于軌跡W的任意一點M，∠MQP=2∠MPQ成立．
分析：（Ⅰ）由A，B兩點關于x軸對稱，得到AB邊所在直線與y軸平行．設M（x，y），由題意得出x，y之間的關系即為點M的軌跡W的方程．
（Ⅱ）先設M（x₀，y₀）（x₀＞0），因為曲線關于x軸對稱，所以只要證明“點M在x軸上方及x軸上時，∠MQP=2∠MPQ”成立即可．
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、雙曲線方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸思想．屬于中檔題．