Question

（2014•江門模擬）已知數列{a_n}的首項a₁=2，?n∈N^*，點（a_n，a_n+1）都在直線x-2y+1=0上．
（1）證明：數列{a_n-1}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由點（a_n，a_n+1）都在直線x-2y+1=0上，可得a_n-2a_n+1+1=0，變形為a_n-1=2（a_n+1-1），即可證明數列{a_n-1}是等比數列；
（2）由（1）利用等比數列的通項公式即可得出；
（3）利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：（1）證明：∵點（a_n，a_n+1）都在直線x-2y+1=0上，∴a_n-2a_n+1+1=0，
變形為a_n-1=2（a_n+1-1），an+1-1=

1

2

(an-1)，又a₁-1=1≠0，
∴數列{a_n-1}是等比數列，首項為1，公比為

1

2

．
（2）解：由（1）得an-1=1×(

1

2

)n-1，
∴an=1+21-n．
（3）Sn=(1+20)+(1+2-1)+(1+2-2)+…+(1+21-n)
=n+（2⁰+2^-1+2^-2+…+2^1-n）
=n+

1-2-n

1-2-1

=n+2-2^1-n．

點評：本題考查了等比數列的通項公式及前n項和公式，恰當變形是解題的關鍵，屬于中檔題．