Question

（2006•東城區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=2

x+1

（x＞-1），曲線y=f（x）在點P（x₀，f（x₀））處的切線l分別交x軸、y軸于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）求x=1時切線l的方程；
（2）求△AOB面積的最小值及此時P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）求x=1時切線l的方程，已知了切點，只需求出切線的斜率即可，故先求導(dǎo)函數(shù)，令x=1求出切線的斜率，利用點斜式表示出方程即可；
（2）先表示出△AOB面積，然后利用換元法與導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，取最值時求出點P的坐標(biāo)即可．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）f′(x)=

1

x+1

．…（3分）
設(shè)y₀=f（x₀），過P（x₀，y₀）的切線方程為y-y0=

1

x0+1

(x-x0)．即 y=

x

x0+1

+

x0+2

x0+1

．
∴當(dāng)x₀=1時，切線l的方程為x-

2

y+3=0．…（6分）
（2）當(dāng)x=0時，y=

x0+2

x0+1

，當(dāng)y=0時，x=-x₀-2.S△AOB=

1

2

|

x0+2

x0+1

•(x0+2)|=

(x0+2)2

2 x0+1

．
令

x0+1

=t（t＞0）．則 S△AOB=

(t2+1)2

2t

．S′=

2(t2+1)•2t2-(t2+1)2

2t2

=

(t2+1)•(3t2-1)

2t2

=0．…（10分）
由于t＞0，解得t=

1

3

，
當(dāng)t＜

1

3

時，S'＜0，當(dāng)t＞

1

3

時，S'＞0．
∴當(dāng)t=

1

3

，即

x0+1

=

1

3

時，S取得最小值S△AOB=

8 3

9

．
此時x0=-

2

3

，y0=2

x0+1

=

2 3

3

．
所以△AOB面積的最小值為

8 3

9

，此時P點的坐標(biāo)為(-

2

3

，

2 3

3

)．…（13分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究切線，這類問題是高考中常考得問題，屬于中檔題！